题目
题型:不详难度:来源:
(1)求圆的方程;
(2)设是直线上的动点,是圆的两条切线,为切点,求四边形面积的最小值.
答案
解析
试题分析:(1)根据题意,设出圆心(a,b),然后圆过两点,其中垂线必定过圆心,且圆心在上.联立直线的方程组得到交点坐标即为圆心坐标,进而两点距离公式求解半径,得到圆的方程。
(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,根据两个三三角形的底相同,高相等,那么即可知S=2|PA|,只需要求解切线长|PA|的最小值即可。
解:(1)设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
根据题意,得 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
解得a=b=1,r=2, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分
(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|, 所以S=2|PA|, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分而|PA|==, 即S=2.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分
所以|PM|min==3, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
所以四边形PAMB面积的最小值为S=2=2=2. ﹍﹍﹍12分
点评:结合该试题的关键是理解圆心和半径是求解圆的方程核心,同时直线与圆相切时,构成的四边形的面积问题,能否转化为一条切线和一个半径以及一个圆心到圆外一点P的三角形的面积的最值,最终化简为只需要求解切线长|PA|的最小值即可。。
核心考点
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
A.相交 | B.相离 | C.相切 | D.不能确定 |
A.6 | B. | C. | D. |
(1)求的值;
(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y 轴于点B,设,求的最小值(O为坐标原点).
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