题目

题型：不详难度：来源：

如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N．

(1)证明：|PM|·|PN|为定值；
(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

答案

（1）见解析    （2）＋1

解析

解：(1)设P(x₀，x₀＋)(x₀>0)，
则|PN|＝x₀，|PM|＝＝，因此|PM|·|PN|＝1．
(2)连接OP，直线PM的方程为y－x₀－＝－(x－x₀)，
即y＝－x＋2x₀＋，
解方程组
得x＝y＝x₀＋，∴|OM|＝x₀＋，
S_{四边形OMPN}＝S_△NPO＋S_△OPM
＝|PN|·|ON|＋|PM|·|OM|
＝x₀(x₀＋)＋ (x₀＋)
＝＋ (＋)≥＋1．
当且仅当x₀＝，即x₀＝1时等号成立，因此四边形OMPN面积的最小值为＋1．