过双曲线2x2-y2=1上一点A(1,1)作两条动弦AB,AC,且直线AB,AC的斜率的乘积为3. (1)问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由. (2)证明直线BC过定点. |
(1)令B(x1,y1),C(x2,y2). 当BC与x轴垂直时,有x1=x2,y1=-y2, 故:3=•=== ∴x1=,与|x1|≥矛盾,因此BC不与x轴垂直..(3分) 当BC与y轴垂直时,有x1=-x2,y1=y2, 故:3=•=== ∴y1=-,因此BC可与y轴垂直,此时BC的方程为y=-.(5分) (2)证明:当BC不与坐标轴垂直时,kAB•kAC=•=3, 故3(x1-1)(x2-1)=(y1-1)(y2-1).…①…(6分) 令BC:y=kx+b,代入双曲线方程有:2x2-(kx+b)2=1⇔(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.…② x1,x2是方程②的两个实根.令f(x)=(2-k2)x2-2kbx-b2-1, 则(x1-1)(x2-1)==.③…..(8分) 直线方程又可写成:x=,代入2x2-y2=1,有:2(y-b)2-k2y2=k2,整理得:(2-k2)y2-4by+2b2-k2=0.…④ y1,y2是方程④的两个实根. 令g(y)=(2-k2)y2-4by+2b2-k2. (y1-1)(y2-1)==.…⑤…(10分) ③,⑤两式代入①式,有:=, 故3[1-(k+b)2]=2[(b-1)2-k2], 从而:3(1-k-b)(1+k+b)=2(b-1-k)(b-1+k).…⑥ 因为点A(1,1)不在直线y=kx+b上,故k+b≠1. 利用⑥,可知:3 (1+k+b)+2(b-1-k)=0, 即k+5b+1=0,所以-=k•+b. 因此直线BC过定点M(,-),直线y=-也过定点M. 综上所述,直线BC恒过定点M(,-).…(14分) |
核心考点
试题【过双曲线2x2-y2=1上一点A(1,1)作两条动弦AB,AC,且直线AB,AC的斜率的乘积为3.(1)问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线B】;主要考察你对
直线方程的概念与直线的斜率等知识点的理解。
[详细]
举一反三
求直线3x-2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距. |
圆(x+1)2+y2=8内有一点P(-1,2),AB过点P, ①若弦长|AB|=2,求直线AB的倾斜角α3; ②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于,求直线AB的方程. |
若tanα=-2,α是直线y=kx+b的倾斜角,则α=______.(用α的反正切表示) |
已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=kx+b与C交于A,B两点,O为坐标原点. (1)当k=1,且直线l过抛物线C的焦点时,求|AB|的值; (2)当直线OA,OB的倾斜角之和为45°时,求k,b之间满足的关系式,并证明直线l过定点. |
直线x+ycosα+1=0的倾斜角θ的取值范围为______. |