题目

题型：模拟题难度：来源：

如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示），    
（1）求证：AE∥平面DCF；    
（2）当AB的长为，∠CEF=90°时，求二面角A-EF-C的大小。

答案

解：（1）过点E 作EG⊥CF交CF于G，
连结DG，可得四边形BCGE为矩形，
又四边形ABCD为矩形，
所以AD=EG，
从而四边形ADGE为平行四边形，
故AE∥DG，
因为平面DCF，平面DCF，
所以AE∥平面DCF。
（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，
连结AH，BH，
由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，
得AB平面BEFC，
从而AHEF，
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，
在Rt△EFG中，因为=2，
∴∠GFE=60°，FG=1，
又因为∠GEF=90°，
所以CF=4，从而BE=CG=3，
于是 
在
则tan∠AHB=，
因为
所以∠AHB=60°，
所以二面角A-EF-C的大小为60°。