题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD， AD∥BC，∠ABC=，AB=PA=AD=a，cos∠ADC=，
（1）求点D到平面PBC的距离；            
（2）求二面角C-PD-A的正切值。

答案

解：（1 ）如图，在四棱锥P-ABCD中，
∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离，
∵∠ABC=，
∴AB⊥BC，
又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，
过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，
∴AE的长等于点D到平面PBC的距离，而AB=PA=a，
∴AE=，
即点D到平面PBC的距离为。  
（2）∵PA⊥底面ABCD，
∴平面PAD⊥底面ABCD，       
引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，
∴MN是CN在平面PAD上的射影，
由三垂线定理可知CN⊥PD，
∴∠CNM是二面角C-PD-A的平面角，
依题意，
∴，
∴BC=a，       
可知，
∴，
，       
∴二面角C-PD-A的正切值为。