题目

题型：不详难度：来源：

四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角P-AB-D的大小．

答案

（1）作PO⊥CD于O，连接OA
由侧面PDC与底面ABCD垂直，则PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
则∠DOA=90°，即OA⊥CD
分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由已知P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），D（0，-1，0），C（0，1，0），
∴

PA

=（

3

，0，-

3

），

CD

=（0，-2，0），
∴

PA

•

CD

=0，∴

PA

⊥

CD

，
∴PA⊥CD．
（2）∵P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），B（

3

，2，0），D（0，-1，0），
∴

PA

=（

3

，0，-

3

），

PB

=（

3

，2，-

3

），

DA

=(

3

，1，0)，

DB

=（

3

，3，0）
设平面ABP的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，则

m

•

PA

=0，

m

•

PB

=0，
∴

3 x1- 3 z1=0 3 x1+2y1- 3 z1=0

，解得

m

=（1，0，1）．
设平面ABD的法向量为

n

=(x2，y2，z2)，则

n

•

DA

=0，

n

•

DB

=0，
∴

3 x2+y2=0 3 x2+3y2=0

，解得

n

=（0，0，1），
设二面角P-AB-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

2 ×1

|=

2

2

，
∴θ=45°，
故二面角P-AB-D的大小为45°．