题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离。

答案

解：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影，
即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角，
设F为AB中点，连结EF、FC，
∵D，E分别是CC₁与A₁B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，
∴GE=DF，
在直角三角形EFD中，，
∵EF=1，
∴，于是，
∵，
∴，
∴，
∴A₁B与平面ABD所成的角是。
（Ⅱ），
又EF∩AB=F，
∴ED⊥面A₁AB，
又，
∴平面AED⊥平面A₁AB，且面AED∩面A₁AB=AE，
作，垂足为K，
∴A₁K⊥平面AED，即A₁K是A₁到平面AED的距离，
在中，，
∴点A₁到平面AED的距离为。