题目

题型：不详难度：来源：

如图，三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．

答案

（I）证明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（II）取PC中点D，连接AD．
∵AC=PA，∴AD⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴AD⊥平面PBC，
连接DM，则∠AMD就是AM与平面PBC所成角．
设AC=BC=PA=a，则AD=

a

2

，AM=

3 a

2

，∴DM=

a

2

，
∴tan∠AMD=

AD

DM

=

2

，
∴AM与平面PBC所成角的正切值是

2

．