题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1.

（I）求证：A₁C//平面AB₁D；
（II）求二面角B—AB₁—D的大小；
（III）求点C到平面AB₁D的距离.

答案

（I）空间直角坐标系D—xyz,
（II）（III）

解析

试题分析：建立空间直角坐标系D—xyz，如图，

（1）证明：
连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.
设A₁A =" AB" = 1，
则

 …………………………3分
，
 ……………………………………4分
（2）解：， ，
设是平面AB₁D的法向量，则，
故；
同理，可求得平面AB₁B的法向量是 ……………………6分
设二面角B—AB₁—D的大小为θ，，
∴二面角B—AB₁—D的大小为 …………………………8分
（3）解由（II）得平面AB₁D的法向量为，
取其单位法向量
∴点C到平面AB₁D的距离
点评：本题第二问还可作出平面角求解，第三问利用等体积法亦可求解