题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=。
（I）求证：A₁B⊥B₁C；
（II）求二面角A₁—B₁C—B的大小。

答案

（I）证明见解析
（II）

解析

解法一：
（I）由AC=1，AB=，BC=知AC²+AB²=BC²，
所以AC⊥AB。
因为ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，面ABB₁A₁⊥面ABC，
所以AC⊥面ABB₁A₁。………………3分
由，知侧面ABB₁A₁是正方形，连结AB₁，
所以A₁B⊥AB₁。
由三垂线定理得A₁B⊥B₁C。  ………………6分
（II）作BD⊥B₁C，垂足为D，连结A₁D。
由（I）知，A₁B⊥B₁C，则B₁C⊥面A₁BD，
于是B₁C⊥A₁D，
则∠A₁DB为二面角
A₁—B₁C—B的平面角。 ………………8分

∴Rt△A₁B₁C≌Rt△B₁BC，

故二面角A₁—B₁C—B的大小为………………12分
解法二：
由AC=1，AB=，BC=知AC²+AB²=BC²，
所以AC⊥AB。
如图建立空间直角坐标系
  ……………………2分
（I），
………………6分
（II）作，垂足为D，连结A₁D。

设
，
所以等于二面角A₁—B₁C—B的大小。  ………………10分
，
故二面角A₁—B₁C—B的大小为………………12分