题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD
平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD。（2）连结BO，
在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC
有OD∥BC且OD=BC
所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC
由（1）知，PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角
因为AD=2AB=2BC=2
在Rt△AOB中，AB=1，AO=1
所以OB=
在Rt△POA中，因为AP=，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO=
所以异面直线PB与CD所成的角是。（3）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
设，则
由（2）得CD=OB=
在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP，
由V_P-DQC=V_Q-PCD，得x=3/2
所以存在点Q满足题意，此时。