如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，求证：AD⊥PB． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，求证：AD⊥PB．

答案

证明：取AD中点G，连接PG，∵△PAD为等边三角形，
∴PG⊥AD，又由已知平面PAD⊥平面ABCD，所以PG⊥平面ABCD，
连接BG，BG是PB在平面ABCD中的射影，
由于四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，所以BG⊥AD，∴AD⊥BP．

核心考点

试题【如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，求证：AD⊥PB．】；主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]

举一反三

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2

的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求三棱锥B-CMN的体积．

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如图，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与平面ACB₁都平行？证明你的结论．

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如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若点Q是线段PA上任一点，求证：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求线段PA上点Q的位置，使得PC∥平面BDQ．

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如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=

．等边三角形ADB以AB为轴运动．当CD=______时，面ACD⊥面ADB．

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如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于点O．
（1）已知：PA=

，求证：AM⊥平面PBD；
（2）若二面角M-AB-D的余弦值等于

，求PA的长．

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