在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求CAl与底面ABCD所成角的正切值；（2）证明A1C∥平面BDE． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点．
（1）求CA_l与底面ABCD所成角的正切值；
（2）证明A₁C∥平面BDE．

答案

（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AA₁⊥底面ABCD，故∠A₁CA即为CA_l与底面ABCD所成角．
设正方体的棱长等于1，则 AA₁=1，AC=

，Rt△A₁CA中，tan∠A₁CA=

AA1

．
（2）证明：设AC和BD交与点O，则O是AC的中点．再由E是AA₁的中点可得EO是△A₁CA的中位线，∴EO∥AC．
而EO⊂平面BDE，A₁C不在平面BDE 内，∴A₁C∥平面BDE．

核心考点

试题【在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求CAl与底面ABCD所成角的正切值；（2）证明A1C∥平面BDE．】；主要考察你对线线、线面平行等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=

，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．
（椎体体积公式V=

Sh，其中S为地面面积，h为高）

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设多面体ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADF，△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形，若∠ADC=120°，AD=2，AB=2，CD=4，EF=3，G为BC的中点．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．

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长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求证：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱锥A₁-DBC₁的体积．

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如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．

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如图甲，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC上的点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图乙所示的三棱锥A-BCF，证明：DE∥平面BCF．

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