题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a，
（1）求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小。

答案

解：（1）∵平面∥平面ABC，
∴，
，
∴，
又∵平面⊥平面ABC，平面∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面，
∴，∴，
又，，
∴B₁C₁为AB₁与A₁C₁的公垂线。

（2）过A作于D，
∵△为正三角形，
∴D为B₁C的中点，
∵BC⊥平面，∴BC⊥AD，
又，
∴AD⊥平面VBC，
∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离，
在正△中，，
∴点A到平面VBC的距离为。
（3）过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三重线定理知AH⊥VB，
∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角，
在中，，
△B₁DH∽△B₁BC，，
∴，
∴，∴，
所以，二面角A-VB-C的大小为arctan。