题目

题型：0113 期中题难度：来源：

四棱锥P-ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求直线AE与平面PBC所成的角的正切值。

答案

解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴。
（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE。
证明：连结AC，
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PC⊥底面ABCD且BD平面ABCD，
∴BD⊥PC，
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，AE平面PAC，
∴都有BD⊥AE。
（3）连结BE，
∵PC⊥平面ABCD，
∴AB⊥PC，
又AB⊥BC，BC∩PC=C，
∴BA⊥平面PBC，
∴∠AEB是直线AE与平面PBC所成的角，
在直角△ABE中，tan∠AEB=，
∴直线AE与平面PBC所成的角的正切值为。