题目

题型：上海高考真题难度：来源：

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(Ⅰ)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；
(Ⅱ)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A₁B₃、A₃B₅所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．

答案

解：(Ⅰ)设圆柱的高为h，由题意可知，4(4r+2h)=9.6，
即2r+h=1.2，
S=2πrh +πr²=πr(2.4-3r) =3π[-（r-0.4）²+0.16]，其中0＜r＜0.6，
∴当半径r=0.4（米）时，S_max=0.48π≈1.51（平方米）。(Ⅱ)当r=0.3时，由2r+h=1.2，解得圆柱的高h=0.6（米）．
如图所示，以直线A₃A₇、A₁A₅及圆柱的轴为x、y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则有A₁(0，-0.3，0)，B₃(0.3，0，0.6)，
A₃(0.3，0，0)，B₅(0，0.3，0.6)，
，
异面直线A₁B₃、A₃B₅所成角α有
，
∴两根霓虹灯A₁B₃、A₃B₅所在异面直线所成角的大小为。