题目

题型：不详难度：来源：

如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图②所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．
图①图②
(1)求证：DE⊥平面BCD；
(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积．

答案

（1）见解析（2）

解析

(1)证明：在题图①中，
∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°.
∵CD为∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴CD＝2.
∵CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE＝2.
则CD²＋DE²＝EC².∴∠CDE＝90°.DE⊥DC.
在题图②中，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE平面ACD，∴DE⊥平面BCD.

(2)解：在题图②中，∵EF∥平面BDG，EF平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.
∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，
∴AE＝EG＝CG＝2.
作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，
∴BH⊥平面ACD.由条件得BH＝.S_△DEG＝S_△ACD＝×AC·CD·sin30°＝.
三棱锥B-DEG的体积V＝S_△DEG·BH＝××＝