题目

题型：不详难度：来源：

（本小题12分）
下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．

（Ⅰ）若为的中点，求证：面;
（Ⅱ）证明面;
（Ⅲ）求面与面所成的二面角（锐角）的余弦值．

答案

（Ⅰ）证明略
（Ⅱ）证明略
（Ⅲ）

解析

解: （Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥面ABCD,
PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD,F为PD的中点，　
∴PD⊥AF，
又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A，　
∴CD⊥面ADP,
∴CD⊥AF．又CD∩DP=D,　∴AF⊥面PCD．    ------------- 4分
（Ⅱ）取PC的中点M,AC与BD的交点为N，连结MN，
∴MN=PA，MN∥PA，
∴MN=EB,MN∥EB，故四边形BEMN为平行四边形，
∴EM∥BN，又EM面PEC,∴BD∥面PEC．        -------------7分
（Ⅲ）分别以BC,BA,BE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则C( 4,0,0)，D(4 ,4 ,0)，E(0,0,2)，A(0,4 ,0)，P(0,4,4)，
∵F为PD的中点，∴F(2,4,2)．
∵AF⊥面PCD，∴为面PCD的一个法向量，
=(－2,0,－2)，设平面PEC的法向量为="(x,y" ,z)，
则,
∴,令x=1,∴,      -------------10分
∴
∴与的夹角为．
面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值为．        -------------12分