题目

题型：不详难度：来源：

如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．

（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
（2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

答案

（1）时,三棱锥的体积最大．（2）当时，．与平面所成角的大小．

解析

试题分析：（1）设，则．又，所以.由此易将三棱锥的体积表示为的函数，通过求函数的最值的方法可求得它的最大值.
（2）沿将△折起后，两两互相垂直，故可以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可找到点N的位置，并求得与平面所成角的大小．
试题解析：（1）解法1：在如图1所示的△中，设，则．
由，知，△为等腰直角三角形，所以.
由折起前知，折起后（如图2），，，且，
所以平面．又，所以．于是

，
当且仅当，即时，等号成立，
故当，即时,三棱锥的体积最大．
解法2：同解法1，得．
令，由，且，解得．
当时，；当时，．
所以当时，取得最大值．
故当时,三棱锥的体积最大．
（2）以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．
由（1）知，当三棱锥的体积最大时，，．
于是可得，，，，，，
且．
设，则.因为等价于，即
，故，.
所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．
设平面的一个法向量为，由及，
得可取．
设与平面所成角的大小为，则由，，可得
，即．