题目

题型：不详难度：来源：

宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r>0）的球。人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°；B点落在东经30°的赤道上；C点落在北纬60°，东经90°。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。
（1）求AC两点间的球面距离；
（2）求P点的经度；
（3）求AP两点间的球面距离。

答案

解析

试题分析：（1）根据纬度、经度的定义求出的长，在由余弦定理求的大小，然后用弧长公式
求AC两点间的球面距离，（2）由球面距离定义知∠POB=∠AOB=60°，又P点在赤道上，根据经度的定义可确定P点的经度；（3）连接A，C，，可知A平行OB且等于OB的一半，延长BA与交于D点，那么，同理可证，即四边形为等腰梯形，求出的长，然后解三角形可得的大小。  
试题解析：设球心为，北纬60°圈所对应的圆心为，
（1）那么=。A=C=。又因为∠AC=60°。
所以AC=。那么由余弦定理得
，则AC两点间的球面距离为。
（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，所以PB=AB。
可知∠POB=∠AOB=60°，又P点在赤道上，所以P点的经度为东经90°或西经30°。
显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90°。
由条件可知A平行OB且等于OB的一半，延长BA与交于D点，那么。  
而C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共线且。
可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。
又，所以四边形为等腰梯形，
所以，，
所以两点之间的球面距离为