题目
题型:不详难度:来源:
如图,三棱锥中,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若为线段上的点,设,问为何值时能使
直线平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
答案
解析
(Ⅰ) ,
∴ ,,
,
∴ 平面. ……………………3分
(Ⅱ)当M为PC中点时,即时,直线平面, …………4分
证明如下:
由(Ⅰ)知平面,平面,∴ , ……5分
在等腰中, M为中点,∴ , …………6分
又,
∴ 平面. ……………8分
(Ⅲ)
由(Ⅱ)知当M为PC中点时,平面, 平面,
∴ 平面平面. ……………………9分
过作于,∴ 平面
作于,连结,由三垂线定理可知,.
∴ 为二面角的平面角. ……………………11分
设,则.
在中,,
由(Ⅰ)知平面,平面,∴ .
在中,.
由面积公式得,, ……………12分
同理,在中,由面积公式得, ……………13分
在中,.
所以二面角的大小为. ……………………14分
方法二:
(Ⅰ)同方法一. …………………3分
(Ⅱ)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.
设,则, …………………4分
当M为PC中点时,即时,直线平面. …………………5分
证明如下:
当M为PC中点时,.
,,.
,
∴ ,即. ………………6分
,
∴ ,即. ………………7分
又,∴ 平面. ……………8分
(Ⅲ)可证平面.
则平面法向量为, ……………9分
下面求平面PBC的法向量.
设平面PBC的法向量为,
,,
,
令,则, ……………………12分
.
所以二面角的大小为. ……………………14分
核心考点
试题【(本小题满分14分)如图,三棱锥中,,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若为线段上的点,设,问为何值时能使直线平面;(Ⅲ)求二面角的大小.】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:⊥平面;(2)求二面角的余弦值。
①求证:BD⊥平面;
②求证:平面AED⊥平面BCD;
③求二面角B-AC-D的正切值.
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