题目

题型：江苏期末题难度：来源：

附加题
设n是给定的正整数，有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）同时满足下列条件： ①a_i∈{1，﹣1}，
i=1，2，…，2n；    ②对任意的1≤k≤l≤n，都有 ．
（1）记A_n为满足“对任意的1≤k≤n，都有_a2k﹣1+a_2k=0”的有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）的个数，求A_n；
（2）记B_n为满足“存在1≤k≤n，使得a_2k﹣1+a_2k≠0”的有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）的个数，求B_n．

答案

解（1）因为对任意的1≤k≤n，都有a_2k﹣1+a_2k=0，
则a_2k﹣1、a_2k必为1、﹣1或﹣1、1，
有两种情况，有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）中有n组a_2k﹣1、a_2k
所以，；   
 （2）因为存在1≤k≤n，使得a_2k﹣1+a_2k^≠0，
所以a_2k﹣1+a_2k=2或a_2k﹣1+a_2k=﹣2，
设所有这样的k为k₁，k₂，…k_m（1≤m≤n），
不妨设，
则（否则）；
同理，若，
则，
这说明的值由的值（2或﹣2）确定，
又其余的（n﹣m）对相邻的数每对的和均为0，
所以，B_n=2C_n¹×2^n﹣1+2C_n²×2^n﹣2+…+2C_nⁿ=2（2ⁿ+C_n1×2^n﹣1+C_n²×2^n﹣2+…+C_nⁿ）﹣2×2ⁿ
=2（1+2）ⁿ﹣2×2ⁿ=2（3ⁿ﹣2ⁿ）．