题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
若(2x＋4)²⁰¹⁰＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₂₀₁₀x²⁰¹⁰，则a₀＋a₂＋a₄＋…＋a₂₀₁₀被3除的余数是多少?

答案

若(2x＋4)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010，则a0＋a2＋a4＋…＋a2010被3除的余数是多少?
解：在已知等式中
取x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝62010，
取x＝－1得a0－a1＋a2－…＋a2010＝22010，
两式相加得2(a0＋a2＋…＋a2010)＝62010＋22010，
即a0＋a2＋…＋a2010＝×(62010＋22010)＝×62010＋22009. ……（6分）
注意到×62010能被3整除；……（8分）
22009＝2×(22)1004＝2×(3＋1)1004＝2×(31004＋C·31003＋…＋C·3＋1)，被3除的余数是2，因此a0＋a2＋a4＋…＋a2010被3除的余数是2．……（12分）

解析

略