题目

题型：不详难度：来源：

已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值为  ▲  .  

答案

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解析

解：根据题意画出图形，如图所示：
设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a，
在△ADC中，根据余弦定理得：cosA=a²+4a²-3 2×a×2a =5a²-3 /4a₂，解得a²="3" /（5-4cosA ），
设△ADC的面积为S，
则S="1" /2 a•2a•sinA=a²sinA="3sinA" /5-4cosA  ①，
．下研究求面积的最值
法一：求导得：S′="3cosA(5-4cosA)-12sin2A" (5-4cosA)2 ="15cosA-12" (5-4cosA)2 ，令S′=0，解得cosA="4/" 5 ，
当cosA＜4 /5 时，S′＞0，S单调递增；当cosA＞4 /5 时，S′＜0，S单调递减，
所以S在cosA="4" 5 处取极大值，且极大值为最大值，此时sinA="3" /5