题目

题型：河北模拟难度：来源：

已知在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且

b

cosB

=

a

cosA

，a²b²cosC=a²+b²-c²，S_△ABC=

3

2

．
（I）求证：△ABC为等腰三角形．
（II）求角A的值．

答案

（I）证明：在△ABC中，∵

b

cosB

=

a

cosA

，由正弦定理可得

sinB

cosB

=

sinA

cosA

，∴sinBcosA=cosBsinA，∴sin（B-A）=0．
再由-π＜A-B＜π 可得 B-A=0，
∴△ABC为等腰三角形．
（II）∵a²b²cosC=a²+b²-c²，且 cosC=

a2+b 2-c 2

2ab

，∴ab•

a2+b 2-c 2

2

=a²+b²-c²，即 （ab-2）（ a²+b²-c²）=0．
∴ab=2 或 a²+b²-c² =0．
当 ab=2时，由S_△ABC=

3

2

=

1

2

•ab•sinC 求得sinC=

3

2

，∴C=

π

3

，或 

2π

3

，故 A=

π

3

或

π

6

．
当a²+b²-c² =0，△ABC为等腰直角三角形，A=

π

4

．
综上可得，A=

π

3

，或A=

π

6

，或A=

π

4

．