题目

题型：同步题难度：来源：

如图所示，求图中曲边梯形的面积。（只要求写出极限形式）

答案

解：（1）分割：如图所示，

将区间[a，b]任意分割成n个小区间，其分点记为：
x₁，x₂，…，x_n-1，x₀=a，x_n=b，即x₀=a＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=b，每个区间记为[x_i-1，x_i]（i=1，2，…，n）；
（2）近似代替：在每个小区间上任取一点，记为ξ_i（x_i-1＜ξ_i＜x_i），并记△x_i=x_i-x_i-1，
以小区间长度△x_i为底，f（ξ_i）为高的小矩形面积为f（ξ_i） △x_i，
设小曲边梯形面积为△A_i（i=1，2，…，n），
则有△A_i≈f（ξ_i）△x_i（i=1，2，…，n）；
（3）求和：将所有n个小矩形面积加起来，
得S_n=f（ξ₁）△x₁+f（ξ₂）△x₂+…+f（ξ_n）△x_n=；
（4）取极限：如果分点的数目无限增多，
且每个小区间的长度趋近于零时，和式①的极限存在，
则和式①的极限就是所求曲边梯形的面积S，
即。