题目

题型：不详难度：来源：

在曲线y=x²(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为.试求:
(1)切点A的坐标;
(2)过切点A的切线方程.

答案

如图,设切点A(x₀,y₀),由y′=2x,得过A点的切线方程为y-y₀=2x₀(x-x₀),即y=2x₀x-x₀².
令y=0,得x=,即C(,0).
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S,
S=S_曲边△AOB-S_△ABC,S_曲边△AOB
==x³=x₀³,
S_△ABC=|BC|·|AB|=(x₀-)·x₀²=x₀³,
即S=x₀³-x₀³=x₀³=.
所以x₀=1,从而切点为A(1,1),切线方程为y=2x-1.

解析

设出切点A的坐标,利用导数的几何意义,写出切线方程,然后利用定积分求出所围成平面图形的面积,从而确定切点A的坐标,使问题得以解决.