题目
题型:陕西难度:来源:
x |
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ.
答案
x |
则:f′(x)=
1 | ||
2
|
a |
x |
由已知曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点处有相同的切线,)
故有
x |
1 | ||
2
|
a |
x |
解得a=
e |
2 |
∵两条曲线交点的坐标为(e2,e)切线的斜率为k=f′(e2)=
1 |
2e |
所以切线的方程为y-e=
1 |
2e |
(2)由条件知h(x)=
x |
∴h′(x)=
1 | ||
2
|
a |
x |
| ||
2x |
(Ⅰ)当a>0时,令h′(x)=0,解得x=4a2,
所以当0<x<4a2时h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减;
当x>4a2时,h′(x)>0,h(x)在(0,4a2)上递增.
所以x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,
且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.
所以Φ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2
(Ⅱ)当a≤0时,h(x)=
x |
综上知,h(x)的最小值Φ(a)的解析式为2a(1-ln2a)(a>0).
核心考点
试题【已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;(2)设函数h】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
x |
x2+a |
| ||
3 |
x |
1 |
4 |
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