题目

题型：不详难度：来源：

（13分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

答案

（1）若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（2）实数a的取值范围是[-1,0)∪[3，4].

解析

解：由题设知.
令.
当（i）a>0时，
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（i i）当a＜0时，
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数.
（２）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.
因为线段AB与x轴有公共点，所以.
即.所以.
故a.
解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3，4].