题目

题型：模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=x³-ax(a∈R)，
(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使得≤f(x)≤0对任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：(1)当a=1时，，
令得，
当x∈或x∈时，f′（x）＞0；当x∈时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）的单调增区间为和，函数f（x）的单调减区间为。
(2)假设存在这样的a，使得对任意的x∈[0，1]成立，
当x=0时，a∈R，先求对任意的x∈（0，1]成立，
即a≥x²对任意的x∈（0，1]成立，所以a≥1；①
再求对任意的x∈（0，1]成立，
即对任意的x∈（0，1]成立，
记，，
令，得，
且当时，t ′（x）＜0，函数递减；
当时，t′(x)＞0，函数递增，
所以，函数在区间（0，1]上的最小值为，
所以a≤1； ②
由①，②可知，存在这样的实数a=1，使得对任意的x∈[0，1]成立．