题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1是R上的单调函数，则a的取值范围是（　　）

A．-3≤a≤6

B．-3＜a＜6

C．a＜-3或a＞6

D．a≤-3或a≥6

答案

由f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1，得：f^′（x）=3x²+2ax+a+6．
因为函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1是R上的单调函数，
所以其导函数f^′（x）=3x²+2ax+a+6在R上恒大于等于0或恒小于等于0，
而导函数是二次函数，且图象开口向上，所以其对应的一元二次方程的判别式恒小于等于0，
即△=（2a）²-4×3×（a+6）≤0，
即a²-3a-18≤0．
解得：-3＜a＜6．
所以a的取值范围是-3＜a＜6．
故选B．