题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．（14分）

答案

18.解：（1）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
19.当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）
20.当a＞0时，由f′（x）＞0解得x＜-a或x＞a；
21.由f′（x）＜0解得-a＜x＜a，
22.当a＞0时，f（x）的单调增区间为(-∞，-a)，(a，+∞)；单调减区间为(-a，a)．
23.（2）因为f（x）在x=-1处取得极大值，
24.所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．
25.所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
26.由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，
27.在x=1处取得极小值f（1）=-3．因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，又f（-3）=-19＜-3，f（3）=17＞1，
28.结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（-3，1）．

解析

略