题目
题型:不详难度:来源:
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(2)当m≤2时,证明f(x)>0.
答案
(2)见解析.
解析
由x=0是f(x)的极值点得f "(0)=0,所以m=1.
于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),.
函数在(-1,+∞)上单调递增,且f "(0)=0,因此当x∈(-1,0)时, f "(x)<0;当x∈(0,+∞)时, f "(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)>0.
当m=2时,函数在(-2,+∞)上单调递增.
又f "(-1)<0, f "(0)>0,故f "(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根,且.
当时, f "(x)<0;当时, f "(x)>0,从而当时,f(x)取得最小值.
由f "(x0)=0得=,,
故.
综上,当m≤2时, f(x)>0.
核心考点
举一反三
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
A.(1,1] | B.(0,1] | C.[1,+∞) | D.(0,+∞) |
①-2是函数的极值点
②1是函数的极小值点
③在x=0处切线的斜率大于零
④在区间(-,-2)上单调递减
则正确命题的序号是 .
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