题目
题型:湖南省高考真题难度:来源:
(Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(Ⅱ)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
答案
即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,
所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而,
于是c≥1,且=|b|,
因此2c-b=c+(c-b)>0,
故当x≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0,
即当x≥0时,f(x)≤(x+c)2。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,c≥|b|,
当c>|b|时,有,
令则,
而函数g(t) =2-的值域是;
因此,当c>|b|时,M的取值集合为;
当c=|b|时,由(Ⅰ)知,b=±2,c=2,此时f(c)-f(b)=-8或0,
c2-b2=0,从而f(c)-f(b)≤(c2-b2)恒成立;
综上所述,M的最小值为。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x),(Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;(Ⅱ)若对满足题设条件】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
[ ]
B.f(a)<eaf(0)
C.f(a)=eaf(0)
D.f(a)≤eaf(0)
[ ]
B.f(-1)>f(1)
C.f(-1)<f(1)
D.不确定
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