题目
题型:武汉模拟难度:来源:
(1)求证:函数f(x)与g(x)的图象恒有公共点;
(2)当x∈(0,1]时,若函数f(x)图象上任一点处切线斜率均小于1,求实数a的取值范围;
(3)当x∈[0,1]时,关于x的不等式|f′(x)|>g(x)的解集为空集,求所有满足条件的实数a的值.
答案
即证函数h(x)与x轴有交点,
即证方程x4-2ax2-1=0有实根,设t=x2
即证方程t2-2at-1=0有非负实数根,
而△=4a2+4>0,t1t2=-1<0
∴方程t4-2at-1=0恒有正根
∴f(x)与g(x)图象恒有公共点(4分)
(2)f′(x)=4x3-4ax
∵当0<x≤1时4xa>4x3-1恒成立
即a>x2-
1 |
4x |
1 |
4x |
则y′=2x+
1 |
4x2 |
∴y=x2-
1 |
4x |
∴a>1-
1 |
4 |
3 |
4 |
∴a的取值范围为(
3 |
4 |
(3)由题设知当x∈[0,1]时,|4x3-4ax|≤1恒成立
记F(x)=4x3-4ax
若a≤0则F(1)=4(1-a)≥4不满足条件
故a>0而F′(x)=12x2-4a=12(x-
|
|
①当
|
|
|
于是
|
∴
|
|
3 |
4 |
②当
|
于是
|
综上所述:a=
3 |
4 |
核心考点
试题【函数f(x)=x4-2ax2,g(x)=1.(1)求证:函数f(x)与g(x)的图象恒有公共点;(2)当x∈(0,1]时,若函数f(x)图象上任一点处切线斜率均】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
x |
A.
| B.
| C.
| D.
|
1 |
2 |
(1)当a=3,b=
1 |
2 |
(2)求不等式f′(x)>f(1)的解集.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若方程f (x)=
1 |
4 |
(Ⅲ)设常数p≥1,数列{an}满足an+1=an+ln(p-an)(n∈N*),a1=lnp,求证:an+1≥an.
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