题目

题型：不详难度：来源：

设是由满足下列两个条件的函数构成的集合：①方程 有实根; ②函数的导函数满足（1）判断函数是不是集合中的元素,并说明理由;（2）若集合的元素具有以下性质：“设的定义域为,对于任意都存在使得等式成立.”试用这一性质证明：方程只有一个实数根；（3设是方程的实根,求证:对函数定义域中任意,,当,且时, .

答案

（1） （2）略；（3）略

解析

：（1）函数是集合中的元素.事实上，方程就是此方程有实根0.又而,所以
,满足 ……3分
（2）用反证法.假设方程有两个不相等的实数根,则
由函数性质, 存在使得等式
成立,即而
所以,此与矛盾.故方程只有一个实数根.………8分
（3）不妨设.因为所以在其定义域上是增函数,于是
又因为所以是定义域上的减函数.于是
即
故<1+1=2