题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分15分）已知函数 且导数.
（Ⅰ）试用含有的式子表示，并求单调区间; （II）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称存在“伴侣切线”.特别地，当时，又称存在“中值伴侣切线”.试问：在函数上是否存在两点、使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.

答案

(Ⅰ)在上单调递增，在上单调递减  (Ⅱ)  不存在

解析

（Ⅰ）的定义域为 ， 得：  …2分 代入： 得
当时， 由 ，得
又  即 在上单调递增          ……4分
当时， 由 ，得
又  即 在上单调递减
 在上单调递增，在上单调递减             ……6分
（II） 在函数上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”。
假设存在两点，不妨设，则
，

=     ……8分
在函数图象处的切线斜率
  
得：
化简得：， …… 11分
令，则，上式化为：，即
若令，
由， 在上单调递增，
这表明在内不存在，使得             ……14分
综上所述，在函数上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”。 …15分