题目
题型:不详难度:来源:
(1)求f(x)的极值;
(2)设曲线y=f(x)与直线y=0至多有两个公共点,求实数a的取值范围.
答案
f(x)(极小)=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3
(2)见解析(3)0<a≤1
解析
由f′(x)=3x2-2ax-a2=0,得x1=-,x2="a," (a>0)
x | (-,-) | - | (-,a) | a | (a,+ ∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 增 | 极大 | 减 | 极小 | 增 |
∴f(x)(极大)=f
f(x)(极小)=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3……………………………………………7分
(2)∵f(x)在(-∞,-)上递增,在(-,a)上递减,在(a,+ ∞)上递增,
f(x)(极大)= a3+1>0………………………………………………………………9分
①当极小值f(a)=1-a3≥0,即0<a≤1时,y=f(x)与y=0在x∈(-,+∞)上有1个或0个公共点,此时f(-1)=a(a-1) ≤0
∴y=f(x)与y="0 " 在x∈(-∞,-)上有1个公共点
∴0<a≤1时,y=f(x)与y=0有1个或2个公共点……………………………11分
②当极小值f(a)=1-a3<0即a>1时,y=f(x)与y=0在x∈(-,+∞)上有2个公共点,此时f(-a)=1-a3<0
∴y=f(x)与y="0" 在x∈(-∞,-)上有1个公共点
∴a>1时,y=f(x)与y=0有3个公共点………………………………………13分
综上,0<a≤1……………………………………………………………………14分
核心考点
试题【设a为正实数,函数f(x)=x3-ax2-a2x+1, x∈R.(1)求f(x)的极值;(2)设曲线y=f(x)与直线y=0至多有两个公共点,求实数a的取值范围】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数,其中。
(1)当满足什么条件时,取得极值?
(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围。
设函数
(1)若函数在内没有极值点,求的取值范围。
(2)若对任意的,不等式上恒成立,求实数的取值范围。
(I)(i)求函数的图象的交点A的坐标;
(ii)设函数的图象在交点A处的切线分别为是否存在这样的实数a,使得?若存在,请求出a的值和相应的点A坐标;若不存在,请说明理由。
(II)记上最小值为F(a),求的最小值。
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