题目
题型:不详难度:来源:
(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x<时,f>f;
(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明f′(x0)<0.
答案
①若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.…………2分
②若a>0,则由f′(x)=0得x=,且当x∈(0, )时,f′(x)>0,当x>时,
f′(x)<0.所以f(x)在(0, )单调递增,在(,)单调递减.…………4分
(2)设函数g(x)=f-f,则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,
g′(x)=+-2a …………………………6分
当0<x<时,g′(x)>0,…………7分 而g(0)=0,所以g(x)>0.
故当0<x<时,f>f. …………………………9分
(3)当a≤0时,函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点,故a>0,…………10分
从而f(x)的最大值为,且.…………………………11分
不妨设,则.由(2)得
,而f(x)在(,)单调递减.
∴……14分于是.由(1)知,.…………15分
解析
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x<时,f>f;(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当时,在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,若函数在上恰有两个不同零点,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使函数f(x)和函数在公共定义域上具有相同的单调区间?若存在,求出的值,若不存在,说明理由。
(I)若x=1是函数的一个极值点,求a的值;
(II)若函数在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围;
(III)若函数,在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
线的斜率是-5。
(Ⅰ)求实数b、c的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
(Ⅰ) 当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数(为自然对数的底数).
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