题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在区间上是减函数,求实数的最小值;
(Ⅲ)若存在(是自然对数的底数)使,求实数的取值范围.
答案
(Ⅱ)的最小值为;(Ⅲ).
解析
试题分析:(Ⅰ)求出的导数,由的符号确定的单调区间;
(Ⅱ)求出的导数,由在上恒成立求得实数的最小值;(Ⅲ)注意左右两边的自变量是独立的.若存在使成立,则.故首先求出然后解不等式求实数的取值范围.
试题解析:解:(Ⅰ)由得, 且,则函数的定义域为,
且,令,即,解得
当且时, ;当时,
函数的减区间是,增区间是 4分
(Ⅱ)由题意得:函数在上是减函数,
在上恒成立,即在上恒成立
令,因此即可
当且仅当,即时取等号
因此,故的最小值为. 8分
(Ⅲ)命题“若存在,使,”等价于
“当时,有”,
由(Ⅱ)得,当时,,则,
故问题等价于:“当时,有”,
,由(Ⅱ)知,
(1)当时,在上恒成立,因此在 上为减函数,则,故,
(2)当时,在上恒成立,因此在上为增函数,
则,不合题意
(3)当时,由于在上为增函数,
故的值域为,即
由的单调性和值域知,存在唯一,使,且满足:当时,为减函数;当时,为增函数;
所以,
所以,与矛盾,不合题意
综上,得. 12分
核心考点
举一反三
(Ⅰ)如果函数在区间上是单调函数,求的取值范围;
(Ⅱ)是否存在正实数,使得函数在区间内有两个不同的零点(是自然对数的底数)?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)若时,求处的切线方程;
(2)当时,,求的取值范围.
(1)求常数的值及、的方程;
(2)求证:对于函数和公共定义域内的任意实数,有;
(3)若存在使不等式成立,求实数的取值范围.
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