题目
题型:不详难度:来源:
(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(2)如果对于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
答案
解析
∵g(x)=x3-x2-3,
∴g′(x)=3x2-2x=3x.
g(x),g′(x)随x变化的情况如下表:
x | 0 | 2 | |||
g′(x) | 0 | - | 0 | + | |
g(x) | -3 | | 极小值- | | 1 |
[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=,所以满足条件的最大整数M=4.
(2)对于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,
等价于在区间上,函数f(x)min≥g(x)max.
由(1)可知,在区间上,g(x)的最大值g(2)=1.
在区间上,f(x)=+xln x≥1恒成立.
等价于a≥x-x2ln x恒成立,
记h(x)=x-x2ln x,
则h′(x)=1-2xln x-x,h′(1)=0.
当1<x<2时,h′(x)<0;当<x<1时,h′(x)>0,
即函数h(x)=x-x2ln x在区间上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,即实数a的取值范围是[1,+∞).
核心考点
试题【设f(x)=+xln x,g(x)=x3-x2-3.(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;(2)如】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.0 | B.1 | C.2 | D.3 |
A. | B.(-∞,-1) | C.(-1,0) | D. |
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,并证明对[-1,1]上的任意x1,x2,x3,都有F(x1)+F(x2)>F(x3);
(2)将y=f(x)的图像向下平移a(a>0)个单位,同时将y=g(x)的图像向上平移b(b>0)个单位,使它们恰有四个交点,求的取值范围.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=且g(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
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