题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a=2时,求函数y=f(x)的图象在x=0处的切线方程;
(2)判断函数f(x)的单调性;
(3)求证:
答案
解析
试题分析:(1)已知函数是一个 含对数与分式,以及复合函数,需要正确地对函数求导,因为函数在x=0处的切线方程,所以将x=0代入导函数,即可求出切线的斜率.再根据横坐标为0,计算出纵坐标,根据点斜式即可写出切线方程.
(2)需要判断函数的单调性,要对函数求导,判断导函数的值的正负,所以要根据参数的情况分类讨论后作出判定.
(3)解法(一)令为特殊值,通过函数的单调性得到一个不等式成立,再将x转化为数列中的n的相关的值,再利用一个不等式,从而得到结论.解法(二)根据结论构造函数,通过函数的最值证明恒成立,再将x转化为n的表达式即可.
试题解析:(1)当时,,
∴,
∴,所以所求的切线的斜率为3.又∵,所以切点为. 故所求的切线方程为:.
(2)∵,
∴. ①当时,∵,∴; 7分
②当时,
由,得;由,得; 综上,当时,函数在单调递增;
当时,函数在单调递减,在上单调递增.
(3)方法一:由(2)可知,当时,在上单调递增. ∴ 当时,,即. 令(),则. 另一方面,∵,即,
∴ . ∴ (). 方法二:构造函数, ∴, ∴当时,;
∴函数在单调递增. ∴函数 ,即
∴,,即
令(),则有.
核心考点
举一反三
(1)求实数的最大值;
(2)当最大时,函数有三个零点,求实数k的取值范围。
(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;
(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.
(1)当时,求的最小值;
(2)在区间(1,2)内任取两个实数p,q,且p≠q,若不等式>1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求证:(其中)。
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