题目

题型：不详难度：来源：

已知函数．
(1)当a=1时，求曲线在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的值；
(3)若对任意，且恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）（2）.（3）.

解析

试题分析：（1）当时，.
利用切线的斜率等于在切点处的导函数值，可得斜率得解.
（2）函数的定义域是. 根据当时、当、当时、当时等 几种情况，“求导数，求驻点，讨论区间单调性，确定函数的最值”，建立的方程.
（3）设，问题转化成“只要在上单调递增即可.”
当时，根据，知在上单调递增；
当时，只需在上恒成立，问题转化成“只要”.
（1）当时，.
因为.                           2分
所以切线方程是                         3分
（2）函数的定义域是.
当时， 
令，即，
所以或.                                 6分
当，即时，在［1，e]上单调递增，
所以在［1，e]上的最小值是，解得；     7分
当时，在［1，e]上的最小值是，即令，，
，而，，不合题意；      9分
当时，在[1，e]上单调递减，
所以在［1，e]上的最小值是，解得，不合题意
所以.
（3）设，则，
只要在上单调递增即可.             11分
而
当时，，此时在上单调递增；         12分
当时，只需在上恒成立，因为，只要，
则需要，                             13分
对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，
即. 综上.                    14分