题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝(m，n∈R)在x=1处取得极大值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意x₂∈[-1，1]，总存在x₁∈R，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．

答案

（1）f（x）=
（2）当x=-1时，函数f（x）有极小值-2；当x=1时，函数f（x）有极大值2；
（3）a的取值范围为

解析

解：（1）∵函数f(x)＝(m，n∈R)在x=1处取得极大值2．
∴，
又由f′（x）==，
由题意得  ，解得m=4,n=1，
经检验，当m=4，n=1时，函数f（x）在x=1处取得极小值2  
∴函数f（x）的解析式为f（x）=；
（2）∵函数f（x）的定义域为R且由（1）有f′（x）=
令f′（x）=0，解得：x=±1
∴当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	极小值-2	增	极大值2	减

∴当x=-1时，函数f（x）有极小值-2；当x=1时，函数f（x）有极大值2；
（3）由（2）知函数f（x）的大致图象如图所示：

则f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，
在x=1处取得极大值f（1）=2
又∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x）的最小值为-2，∴
∵若对于任意x₂∈[-1，1]，总存在x₁∈R，使得g（x₂）≤f（x₁）
∴当x∈[-1，1]时，
当a≤-1时，,得a=-1，
当a≥1时，,得无解.
当-1 <a< 1时，,得-1 <a< 1.
综上所述.a的取值范围为.