题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知a≥0，函数f(x)=x²+ax，设，记曲线y=f(x)在点M(x₁，f(x₁))处的切线为l，l与x轴的交点是N(x₂，0)，O为坐标原点，
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若对于任意的，都有成立，求a的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)对f(x)求导数，得，f′(x)=2x+a，
故切线l的斜率为2x₁+a，
由此得切线l的方程为y-(x₁²+ax₁)=(2x₁+a)(x-x₁)，
令y=0，得。
(Ⅱ)由，得，
设，
对求导数，得，
令，得，
当时，的变化情况如下表：
，
所以，函数g(x₁)在上单调递减，在上单凋递增，
从而函数g(x₁)的最小值为，
依题意，得，解得：，
即a的取值范围是。