题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

已知函数f(x)=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为y=x-1，
(Ⅰ)用a表示出b，c；
(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1，+∞)上恒成立，求a的取值范围；
(Ⅲ)证明：。

答案

(Ⅰ)解：，则有，
解得；
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，
令，
则，
(ⅰ)当时，，
若，则g′(x)＜0，g(x)是减函数，所以g(x)＜g(1)=0，
即f(x)＜lnx，故f(x)≥lnx在[1，+∞）上不恒成立；
(ⅱ)当时，，
若x＞1，则g′(x)＞0，g(x)是增函数，所以g(x)＞g(1)=0，
即f(x)＞lnx．故当x≥1时，f(x)≥lnx；
综上所述，所求a的取值范围为。
(Ⅲ)证明：用数学归纳法证明，
①当n=1时，左边=1，右边=，不等式成立；
②假设n=k时，不等式成立，就是
，
那么，
由(Ⅱ)知当时，有f(x)≥lnx(x≥1)，
令，有，
令，得，
∴，
∴，
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．
根据①和②，可知不等式对任何n∈N*都成立。