题目

题型：山西省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）。
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y-3=0求实数a的值；
（2）求证：f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；
（3）若a<0且对任意x₁， x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4||，求实数a的取值范围。

答案

解：（1）因为
所以
得曲线在x=1处的切线的斜率为1-a
由已知在x=1处的切线方程为
从而1-a=3
∴ ；
（2）充分性：∵a=1
∴当时，
∴函数在（1，+∞）是增函数
当时，
∴函数在（0，1）是减函数
∴
必要性：由
当时，
∴函数在（0，+∞）是增函数而
当时，与当恒成立矛盾
∴时不满足题意
当时，时
∴函数在（a，+∞）是增函数
当时，
∴函数在（0，a）是减函数
∴
∵
∴当时，此时与恒成立矛盾
综上恒成立的充要条件是a=1；
（3）由（2）知当a＜0时，函数f（x）在（0，1]是增函数
而函数f（x）=在（0，1]是减函数
不妨设
则，
∴
等价于
即
设
则等价于h（x）在（0，1]上是减函数

∴在（0，1]上恒成立
即在（0，1]上恒成立
即a不小于在（0，1]上的最大值
而函数在（0，1]上是增函数
∴函数的最大值为-3
故
又a＜0
故实数a的取值范围为[-3，0）。