题目
题型:四川省月考题难度:来源:
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;
(2)求证:直线PQ过定点;
(3)若a≠0,试求S△APQ:|OA|的最小值.
答案
解:(I)设切点P(x1,y1),Q(x1,y1)
由题意可得,kAP==,
由导数的几何意义可得,kAP=2x1,
∴=2x1,
整理可得,
同理可得﹣1=0,
从而可得x1,x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根,
∴x=a±,k1=,k2=,
∴k1·k2==﹣4,
即k1·k2为定值﹣4.
(II)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由于y"=2x,
故切线AP的方程是:y﹣y1=2x1(x﹣x1),
则﹣y1=2x1(a﹣x1)=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2(y1﹣1)
∴y1=2x1a+2,同理y2=2x2a+2,
则直线PQ的方程是y=2ax+2,则直线PQ过定点(0,2).
(Ⅲ)即A(a,0)点到PQ的距离,
要使最小,就是使得A到直线PQ的距离最小,
而A到直线PQ的距离d===≥,
当且仅当,
即a2=时取等号,
∴最小值为.
核心考点
试题【过x轴上的动点A(a,0)的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ,P、Q为切点.(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;(2)求证:】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
①命题“存在的否定是:不存在”;
②函数的零点在区间内;
③若函数f(x)满足f(1)=1且f(x+1)=2f(x),则f(1)+f(2)+…+f(10)=1023;
④函数切线斜率的最大值是2.
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;
(2)求证:直线PQ过定点;
(3)若a≠0,试求S△APQ:|OA|的最小值.
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