题目

题型：湖南模拟难度：来源：

下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（　　）

A．f（x）=ex

B．f（x）=x3

C．f（x）=lnx

D．f（x）=sinx

答案

设切点的横坐标为x₁，x₂
则存在无数对互相垂直的切线，即f′（x₁）•f′（x₂）=-1有无数对x₁，x₂使之成立
对于A由f′（x）=e^x＞0，
所以不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
对于B由于f′（x）=3x²＞0，
所以也不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
对于C由于f（x）=lnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

＞0，
对于Df′（x）=cosx，
∴f′（x₁）•f′（x₂）=cosx₁•cosx₂，
当x₁=2kπ，x₂=（2k+1）π，k∈Z，
f′（x₁）•f′（x₂）=-1恒成立．
故选D