题目

题型：不详难度：来源：

（（本小题满分12分）
已知x>，函数f（x）＝，h（x）＝2e lnx（e为自然常数）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；
（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）＝－4＋px＋q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立?若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．

答案

解：⑴证明：记，
则，----------------2分
令，注意到，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．-------4分
，即，
所以．　--------------------------------5分
⑵由⑴知，对恒成立，当且仅当时等号成立，
记，则
“恒成立”与“函数的图象有且仅有一个公共点”同时成立，
即对恒成立，当且仅当时等号成立，
所以函数在时取极小值，------------------------7分
注意到，
由，解得，------------------------9分
此时，
由知，函数在上单调递减，在上单调递增，
即=0，，--------11分
综上，两个条件能同时成立，此时．--------12分

解析

略